Question

已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（ I）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，求a的值；
（ II）若函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)已知條件函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，可得F′（1）=0，得出等式，求出a值；
（II）因?yàn)楹瘮?shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，可以對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以轉(zhuǎn)化為G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常數(shù)分離法進(jìn)行求解；
（Ⅲ）這個(gè)證明題可以利用一個(gè)恒等式，sinx＜x，然后對(duì)從第三項(xiàng)開(kāi)始進(jìn)行放縮，然后進(jìn)行證明；
解答：解：（ I）∵函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
∴F（x）=ax-lnx，則 F′（x）=a-，
∵函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，
∴F′（1）=0，
∴a-1=0，解得a=1；
（ II）∵函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+，
只要G′（x）＞0在區(qū)間（0，1）上大于0，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+＞0，
∴a＜，求的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最小值即可，0＜1-x＜1，
∵h(yuǎn)′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函數(shù)，
h（x）＜h（1）=1，
∴的最小值為1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵0＜＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴=sin+sin+…+sin≤++…+
＜+++++…+=-＜＜ln2，
∴＜ln2；
點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)可以很容易解決，第二問(wèn)利用了常數(shù)分離法進(jìn)行證明，第三問(wèn)需要進(jìn)行放縮證明，主要利用sinx＜x進(jìn)行證明，此題難度比較大，計(jì)算量比較大；