Question

如圖所示的兩個同心圓盤均被n等分（n∈N^*，n≥2），在相重疊的扇形格中依次同時填上1，2，3，…，n，內圓盤可繞圓心旋轉，每次可旋轉一個扇形格，格中數(shù)之積的和為此位置的“旋轉和”．
（Ⅰ）求2個不同位置的“旋轉和”的和；當內圓盤旋轉到某一位置時，定義所有重疊扇形；
（Ⅱ）當n為偶數(shù)時，求n個不同位置的“旋轉和”的最小值；
（Ⅲ）設n=4m（m∈N^*），在如圖所示的初始位置將任意而對重疊的扇形格中的兩數(shù)均改寫為0，證明：當m≤4時，通過旋轉，總存在一個位置，任意重疊的扇形格中兩數(shù)不同時為0．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由于內盤中的任一數(shù)都會和外盤中的每個作積，故可得n個不同位置的“旋轉和”的和；
（Ⅱ）求出內盤中的1和外盤中的k同扇形格時的“旋轉和”，當k＜

n+1

2

時，a_k+1＜a_k，當k＞

n+1

2

時，a_k+1＞a_k，所以k=

n

2

+1時，a

n

2

+1最小，即可求n個不同位置的“旋轉和”的最小值；
（Ⅲ）利用反證法進行證明即可．

解答：（Ⅰ）解：由于內盤中的任一數(shù)都會和外盤中的每個作積，故n個不同位置的“旋轉和”的和為1×（1+2+…+n）+2×（1+2+…+n）+…+n×（1+2+…+n）=(1+2+…+n)×(1+2+…+n)=

n2(n+1)2

4

；  …（3分）
（Ⅱ）解：設內盤中的1和外盤中的k同扇形格時的“旋轉和”為a_k
則a_k+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×ka_k
=1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）a_k+1-a_k
=1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n
=(1+2+3+…+n)-n(n-k+1)=n(k-

n+1

2

)…（5分）
所以當k＜

n+1

2

時，a_k+1＜a_k，當k＞

n+1

2

時，a_k+1＞a_k，所以k=

n

2

+1時，a

n

2

+1最小
最小值a

n

2

+1=1×(

n

2

+1)+2×(

n

2

+2)+…+

n

2

×n+(

n

2

+1)×1+…+n×

n

2

=n(1+2+3+…+

n

2

)+2(12+22+…+

n2

4

)=

n(n+2)(5n+2)

24

；…（8分）
（Ⅲ）證明：將圖中所有非0數(shù)改寫為1，現(xiàn)假設任意位置，總存在一個重疊的扇形格中兩數(shù)同時為0，則此位置的“旋轉和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1個位置的“旋轉和”的和為（3m）²-3m，
則有（3m）²-3m≥（2m+1）（4m-1），即m2-5m+1≥0⇒m≥

5+ 21

2

，
這與m≤4矛盾，故命題得證．…（12分）

點評：本題給出新概念，考查學生分析解決問題的能力，考查反證法，正確理解、轉化題意是關鍵．