Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左右焦F₁，F(xiàn)₂，若橢圓C上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P，使得△PF₁F₂為等腰三角形，則C的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意，△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形，結(jié)合以橢圓焦點(diǎn)為圓心半徑為2c的圓與橢圓位置關(guān)系的判斷，建立關(guān)于a、c的不等式，解之即可得到橢圓C的離心率的取值范圍．

解答： 解：由題意，△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形，
以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴點(diǎn)P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上
因此，當(dāng)以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，存在2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P，
此時(shí)a-c＜2c且a＜2c，解得離心率e＞

1

2

同理，當(dāng)F₁P為等腰三角形的底邊時(shí)，在e＞

1

2

時(shí)也存在2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P
這樣，總共有4個(gè)不同的點(diǎn)P使得△F₁F₂P為等腰三角形
綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈（

1

2

，1）．
故答案為：（

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形中，共有4個(gè)不同點(diǎn)P使得△F₁F₂P為等腰三角形，求橢圓離心率e的取值范圍．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．