Question

若a為大于零的常數(shù)，求函數(shù)f（x）=（a+sinx）（a+cosx）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：

分析：將函數(shù)f（x）=（a+sinx）（a+cosx）展開，再進(jìn)行三角換元即可．

解答： 解：f（x）=（a+sinx）（a+cosx）=a²+a（sinx+cosx）+sinxcosx
令sinx+cosx=t，則sinxcosx=

t2-1

2

，t∈[-

2

，+

2

]，所以原函數(shù)化為y=

1

2

（t-a）²+

a2-1

2

，t∈[-

2

，

2

]
∴t=a是對稱軸，對a進(jìn)行分類討論：
①當(dāng)a∈（0，

2

）時(shí)，函數(shù)值域?yàn)閇y（a），y（-

2

）]，即y∈（

a2-1

2

，a2+

2

a+

1

2

）
②當(dāng)a∈[

2

，+∞）時(shí)，函數(shù)在[-

2

，

2

]上單調(diào)遞減，故值域?yàn)閇y（

2

），y（-

2

）]，即y∈（a2-

2

a+

1

2

，a2+

2

a+

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查含有字母的函數(shù)值域的求法，要注意字母的范圍以及變量的取值范圍，屬于中檔題．