Question

已知函數(shù)f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，則函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的值域為_     ．

Answer 1

【答案】分析：先求出函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的定義域，然后將函數(shù)化成關于log₃x的二次函數(shù)，進行配方找出對稱軸，而0≤log₃x≤1，利用對稱軸與區(qū)間的位置關系求出最值，即可求出值域．
解答：解：∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）的定義域為
解得1≤x≤3，即定義域為[1，3]．
∴0≤log₃x≤1．
又y=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+2+log₃x²
=（log₃x）²+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3，
∵0≤log₃x≤1，
∴6≤y≤13．
故函數(shù)的值域為[6，13]．
故答案為：[6，13]
點評：本題以對數(shù)函數(shù)為載體考查二次函數(shù)的值域，屬于求二次函數(shù)的最值問題，解題的關鍵是定義域，屬于基本題．