Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

3

，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和S_n滿足an=

2 S 2 n

2Sn-1

，
（1）求S_n的表達(dá)式及

lim

n→∞

an

S 2 n

的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

1

(2n+1)3

-

1

(2n-1)3

，求證：當(dāng)n∈N且n≥2時(shí)，a_n＜b_n．

Answer 1

分析：（1）：利用a_n和S_n的關(guān)系，代入變形可得．然后再用極限法則求解．
（2）：由（1）并利用a_n和S_n的關(guān)系，可解．
（3）：法1：構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明．
        法2：利用差比法證明．
         法3：構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)最值證明．

解答：解：（1）an=Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

⇒Sn-1-Sn=2SnSn-1⇒

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)
所以{

1

Sn

}是等差數(shù)列．則Sn=

1

2n+1

．

lim

n→∞

an

S 2 n

=

lim

n→∞

2

2Sn-1

=

2

2 lim n→∞ Sn-1

=-2．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

2n+1

-

1

2n-1

=

-2

4n2-1

，綜上，an=

1 3 (n=1) 2 1-4n2 (n≥2)

．
（3）令a=

1

2n-1

，b=

1

2n+1

，當(dāng)n≥2時(shí)，有0＜b＜a≤

1

3

（1）
法1：等價(jià)于求證

1

2n-1

-

1

(2n-1)3

＞

1

2n+1

-

1

(2n+1)3

．
當(dāng)n≥2時(shí)，0＜

1

2n-1

≤

1

3

，令f(x)=x2-x3，0＜x≤

1

3

，f′(x)=2x-3x2=2x(1-

3

2

x)≥2x(1-

3

2

×

1

3

)=2x(1-

3

2

)＞0，則f（x）在(0，

1

3

]遞增．
又0＜

1

2n+1

＜

1

2n-1

≤

1

3

，所以g(

1

3 2n+1

)＜g(

1

3 2n-1

)，即a_n＜b_n．
法（2）an-bn=

1

2n+1

-

1

2n-1

-(

1

(2n+1)3

-

1

(2n-1)3

)=b2-a2-(b3-a3)=（a-b）（a²+b²+ab-a-b）（2）=(a-b)[(a2+

ab

2

-a)+(b2+

ab

2

-b)]=(a-b)[a(a+

b

2

-1)+b(b+

a

2

-1)]（3）
因b+

a

2

-1＜a+

b

2

-1＜

3a

2

-1＜

3

2 3

-1=

3

2

-1＜0
所以a(a+

b

2

-1)+b(b+

a

2

-1)＜0
由（1）（3）（4）知a_n＜b_n．
法3：令g（b）=a²+b²+ab-a-b，則g′(b)=2b+a-1=0⇒b=

1-a

2

所以g（b）≤max{g（0），g（a）}=max{a²-a，3a²-2a}
因0＜a≤

1

3

，則a²-a=a（a-1）＜03a2-2a=3a(a-

2

3

)≤3a(

1 3

-

4 9

)＜0
所以g（b）=a²+b²+ab-a-b＜0（5）由（1）（2）（5）知a_n＜b_n

點(diǎn)評(píng)：本題（1）：考查數(shù)列極限的綜合知識(shí)，其中注意a_n和S_n的關(guān)系．（2）考查數(shù)列通項(xiàng)求法．（3）考查數(shù)列函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．