Question

如圖，在直三棱柱中，平面側面

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：

Answer 1

(Ⅰ)證明：如下圖，過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，

則由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩側面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因為三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

則AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,從而BC⊥側面A₁ABB₁,

又AB側面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

   (Ⅱ)證法1：連接CD,則由(Ⅰ)知就是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的頰角，即＝，∠ABA₁=

      于是在中，,

在中，，

      ∴,由于與∠AA₁D都是銳角，所以

      又由知， ，故   

 證法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設AB=c  (c＜a)，則B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，,



設平面A₁BC的一個法向量為,

則由,得

可取n＝（0，－a，c），于是

，與n的夾角為銳角,則與互為余角

，

，

所以,又，所以