Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=（2sin

B

2

，2

2

），

n

=（cosB，2cos²

B

4

-1），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角B的余弦值；
（Ⅱ）若b=2，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,平面向量的綜合題

專題：解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用向量平行的坐標公式，建立方程關(guān)系，即可求角B的余弦值；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理結(jié)合三角形的面積公式以及基本不等式的性質(zhì)即可求出三角形面積的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2sin

B

2

，2

2

），

n

=（cosB，2cos²

B

4

-1），且

m

∥

n

，
∴2sin

B

2

（2cos²

B

4

-1）-2

2

cosB=0；
即2sin

B

2

cos

B

2

=2

2

cosB，
則sinB=2

2

cosB，①
聯(lián)立sin²B+cos²B=1，解得cosB=

1

3

．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，
∵b=2，得cosB=

1

3

．
∴4≥2ac-2ac•

1

3

=

4

3

ac，即ac≤3當且僅當a=c取等號．
S_△ABC=

1

2

ac•sinB=

1

2

ac•

1-cos2B

=

1

2

×

2 2

3

ac=

2

3

ac≤

2

3

×3=

2

，
即S_△ABC的面積的最大值為

2

．

點評：本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用向量平行的坐標公式求出cosB是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查的余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用．綜合性較強．