Question

(2014·廣州模擬)已知☉M：x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動點,QA,QB分別切☉M于A,B兩點.

(1)如果|AB|=,求直線MQ的方程.

(2)求證：直線AB恒過一個定點.

 

Answer 1

（1）2x+y-2=0或2x-y+2=0

（2）見解析

【解析】(1)如圖所示,連AM,BM,

設(shè)P是AB的中點,由|AB|=,

可得|MP|

=

==.

由射影定理,得|MB|2=|MP|·|MQ|,得|MQ|=3,

在Rt△MOQ中,|OQ|===,

故Q點的坐標(biāo)為(,0)或(-,0),所以直線MQ的方程是：

2x+y-2=0或2x-y+2=0.

(2)設(shè)Q(a,0),由題意知M,A,Q,B四點共圓,直徑為MQ.

設(shè)R(x,y)是該圓上任一點,由·=0得x(x-a)+(y-2)y=0.

即x2+y2-ax-2y=0.①

①式與x2+(y-2)2=1聯(lián)立,消去x2,y2項得兩圓公共弦AB所在的直線方程為-ax+2y=3.

所以無論a取何值,直線AB恒過點,故直線AB恒過一個定點.