Question

若點(diǎn)P在平面區(qū)域

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

上，則u=

(x+y)2

xy

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：畫出約束條件表示的可行域，求出

y

x

的范圍，然后求解u=

(x+y)2

xy

的取值范圍

解答： 解：u=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2，
由題意可知約束條件

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

表示的可行域如圖：

y

x

表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，顯然

y

x

∈[

1

3

，2]，
u=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2≥2

y x • x y

+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，不等式成立，
當(dāng)

y

x

=

1

3

時(shí)u=

1

3

+3+2=

16

3

，
當(dāng)

y

x

=2時(shí)，u=2+

1

2

+2=

9

2

＜

16

3

．
∴u=

(x+y)2

xy

的取值范圍為：[4，

16

3

]．
故答案為：[4，

16

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，正確分析與判斷所求表達(dá)式以及作出可行域是解題的關(guān)鍵．