Question

已知函數(shù)：f（x）=lg[sin（2x+

π

3

）-

1

2

]
（1）求函數(shù)定義域
（2）求函數(shù)的值域
（3）若y=f（x+φ）是偶函數(shù)，求φ的集合．

Answer 1

考點：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）要使函數(shù)有意義，則需sin（2x+

π

3

）-

1

2

＞0，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到定義域；
（2）運用正弦函數(shù)的值域，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到值域；
（3）運用余弦函數(shù)的奇偶性，即有2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，解方程即可得到所求集合．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則需
sin（2x+

π

3

）-

1

2

＞0，即sin（2x+

π

3

）＞

1

2

，
即2kπ+

π

6

＜2x+

π

3

＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
解得kπ-

π

12

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z，
則定義域為（kπ-

π

12

，kπ+

π

4

），k∈Z；
（2）由0＜sin（2x+

π

3

）-

1

2

≤

1

2

，
即有l(wèi)g[sin（2x+

π

3

）-

1

2

]≤lg

1

2

=-lg2，
則值域為（-∞，-lg2]；
（3）y=f（x+φ）是偶函數(shù)，
即f（x+φ）=lg[sin（2x+2φ+

π

3

）-

1

2

]為偶函數(shù)，
則2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得φ=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z．
則所求集合為{φ|φ=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z}．

點評：本題考查函數(shù)的定義域和值域以及奇偶性的運用，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．