Question

已知函數(shù)f（x）=

6|x-2|-6，1≤x≤3 1 3 f( x 3 )，x＞3

．有下列說法：
①函數(shù)f（x）的值域為[-6，0]；
②函數(shù)g（x）=f（x）+2•（

1

3

）ⁿ有2n+5（n∈N^*）個不相同的零點；
③當x∈[3^n-1，3ⁿ）（n∈N^*）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為6；
④若關于x的不等式x|f（x）|＞m在x∈[1，+∞）上有解，則m的取值范圍是（-∞，12]．
其中說法正確的總個數(shù)為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由已知解析式，畫出函數(shù)的圖象，進而根據(jù)圖象得出答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

6|x-2|-6，1≤x≤3 1 3 f( x 3 )，x＞3

的圖象如下圖所示：

∴①函數(shù)f（x）的值域為[-6，0]，故正確；
②當n=1時，f（18）=-

2

3

，函數(shù)g（x）=f（x）+2•（

1

3

）有5個零點，而2n+5=7，
當n=2時，f（54）=-

2

9

，函數(shù)g（x）=f（x）+2•（

1

3

）²有7個零點，而2n+5=9，
…
故函數(shù)g（x）=f（x）+2•（

1

3

）ⁿ有2n+3（n∈N^*）個不相同的零點，故錯誤；
③當x∈[3^n-1，3ⁿ）（n∈N^*）時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形為三角形，
底邊長為：3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1，高為2•3^-n+2，
故面積為S=

1

2

2•3^n-1•2•3^-n+2=6，故正確；
④y=x|f（x）|在x∈[1，+∞）上的值域為[0，12]，若關于x的不等式x|f（x）|＞m在x∈[1，+∞）上有解，則m的取值范圍是（-∞，0]，故錯誤．
故有3個命題是正確的，
故選：B

點評：本題考查了分段函數(shù)的解析式、圖象及其性質，考查了分類討論、數(shù)形結合的思想方法，屬于難題．