Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）討論n的奇偶性，即可求通項(xiàng)公式a_n；
（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，cosnπ=-1，
所以a_n+2=a_n+2，所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…是首項(xiàng)為a₁=1，公差為2的等差數(shù)列，因此a_2n-1=2n-1．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cosnπ=1，所以a_n+2=3a_n，所以a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是首項(xiàng)為a₂=2，公比為3的等比數(shù)列，因此a2n=2×3n-1．
綜上an=

n， n是奇 2×3 n 2 -1，n是偶

．
（2）由（1）得S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=3n+n2-1，
S2n-1=S2n-a2n=3n-1+n2-1，
所以Sn=

3 n 2 + n2 4 -1，n是偶 3 n-1 2 + (n+1)2 4 -1，n是奇

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列求和的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，本題注意要注意對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論．