Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

(Ⅰ) f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R)  (Ⅱ)  見(jiàn)解析

（I）∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，
∴f(x)在區(qū)間[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，
由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R).
（II）方程f(x)＋＝0等價(jià)于方程2x³－10x²＋37＝0，
設(shè)h(x)＝2x³－10x²＋37，則h¢(x)＝6x²－20x＝2x(3x－10)，
當(dāng)x∈(0，)時(shí)，h¢(x)＜0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，h¢(x)＞0，h(x)是增函數(shù)，
∵h(yuǎn)(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在區(qū)間(3，)、(，4)內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在(0，3)，(4，＋∞)內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.