Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=-x+b與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P（1，2），設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，從而可求曲線C的方程．
（II）將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得k₁+k₂值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）由題意，M到F（1，0）距離等于它到直線x=-1的距離，由拋物線定義，知C為拋物線，F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，所以C的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=-x+b y2=4x

⇒x2-(2b+4)x+b2=0
∴x₁+x₂=2b+4，x₁x₂=b²…（6分）
k1+k2=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

=

(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

y1x2-y1-2x2+2+y2x1-y2-2x1+2

(x1-1)(x2-1)

=

y1x2+y2x1-(y1+y2)-2(x1+x2)+4

(x1-1)(x2-1)

=

x2(-x1+b)+x1(-x2+b)-(-x1+b-x2+b)-2(x1+x2)+4

(x1-1)(x2-1)

=

-2x1x2+(b-1)(x1+x2)+4-2b

(x1-1)(x2-1)

=

-2b2+(b-1)(2b+4)+4-2b

(x1-1)(x2-1)

=0…（10分）
所以k₁+k₂為定值．…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．