Question

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C上任意一點到點M（0，

1

2

）的距離與到直線y=-

1

2

的距離相等．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x軸上的兩點（x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0），過點A₁，A₂分別作x軸的垂線，與曲線C分別交于點A₁′，A₂′，直線A₁′A₂′與x軸交于點A₃（x₃，0），這樣就稱x₁，x₂確定了x₃．同樣，可由x₂，x₃確定了x₄．現已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．

Answer 1

分析：（I）根據拋物線的定義，可得曲線C是以點M（0，

1

2

）為焦點，直線y=-

1

2

為準線的拋物線，算出焦參數p=1即得
拋物線方程為x²=2y，即為所求曲線C的方程；
（II）由拋物線方程可得：A₁′（x₁，

1

2

x₁²），A₂′（x₂，

1

2

x₂²），從而化簡出A₁′A₂′斜率為

1

2

（x₁+x₂），得出直線A₁′A₂′方程，令y=0得

1

x

=

1

x1

+

1

x2

，結合x₁=6、x₂=2算出x₃=

3

2

．再用同樣的方法算出

1

x4

=

7

6

，即可求出x₄的值．

解答：解：（Ⅰ）因為曲線C上任意一點到點M（0，

1

2

）的距離與到直線y=-

1

2

的距離相等，
根據拋物線定義知，曲線C是以點M（0，

1

2

）為焦點，直線y=-

1

2

為準線的拋物線，
設拋物線方程為x²=2py，可得

p

2

=

1

2

，解得p=1，
故拋物線方程為x²=2y即為所求曲線C的方程；                     …（4分）
（Ⅱ）由題意，得A₁′（x₁，

1

2

x₁²），A₂′（x₂，

1

2

x₂²），
則kA1′A2′=

1 2 (x22-x12)

x2-x1

=

1

2

（x₁+x₂），
故直線A₁′A₂′方程為：y-

1

2

x₁²=

1

2

（x₁+x₂）（x-x₂）．                        …（6分）
令y=0，得

1

x

=

1

x1

+

1

x2

，即

1

x3

=

1

x1

+

1

x2

．              …（8分）
∵x₁=6，x₂=2，∴

1

x3

=

1

x1

+

1

x2

=

1

6

+

1

2

=

2

3

，可得x₃=

3

2

同理可得

1

x4

=

1

x3

+

1

x2

=

1

2

+

2

3

=

7

6

，…（9分）
于是求得x₄的值為

6

7

．                                                …（10分）

點評：本題給出曲線C滿足的條件，求曲線的方程并討論曲線上兩點與x軸上的點共線的問題．著重考查了直線的斜率、拋物線的定義與簡單性質和動點軌跡方程求法等知識，屬于中檔題．