已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線l：x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）斜率為1的直線l過點(diǎn)F，且與曲線C交與A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長．
分析：（1）由已知：點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l'：x=-1的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l'為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則由拋物線的定義可得|AF|=dA=x1+1|BF|=dB=x2+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，由此能求出線段AB的長．
解答：解：（1）由已知條件知，
點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線l'：x=-1的距離相等，
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，
l'為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為y2=4x．…（4分）
（2）設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），
則由拋物線的定義可得|AF|=dA=x1+1|BF|=dB=x2+1…（6分）
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2
由條件知直線l方程為：y=x-1代入y2=4x，
得 （x-1）2=4x
即 x2-6x+1=0∴x1+x2=6，
故|AB|=x1+x2+2=8．…（10分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（2，2）的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)
AP
=λ
PB
．當(dāng)△AOB的面積為4
2
時（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M（0，
1
2
）的距離與到直線y=-
1
2
的距離相等．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A1（x1，0），A2（x2，0）是x軸上的兩點(diǎn)（x1+x2≠0，x1x2≠0），過點(diǎn)A1，A2分別作x軸的垂線，與曲線C分別交于點(diǎn)A1′，A2′，直線A1′A2′與x軸交于點(diǎn)A3（x3，0），這樣就稱x1，x2確定了x3．同樣，可由x2，x3確定了x4．現(xiàn)已知x1=6，x2=2，求x4的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•松江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），求
OA
•
OB
的值；
（3）若
OA
•
OB
=-4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）（其中x≥0）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點(diǎn)F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點(diǎn)，求
OA
•
OB
的值；
（3）若曲線C上不同的兩點(diǎn)M、N滿足
OM
•
MN
=0，求|
ON
|的取值范圍．

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