Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x-sin²x-3cosx-1．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求f（x）取最大值、最小值時的x的集合．

Answer 1

分析：（1）將x=

π

3

代入f（x）表達(dá)式，結(jié)合

π

3

角的三角函數(shù)值加以計算，可得f（

π

3

）的值；
（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，化簡得f（x）=3cos²x-3cosx-2，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，研究以 cosx為單位的二次函數(shù)，可得f（x）的最大值和最小值，并可求出相應(yīng)的x的集合．

解答：解：（1）∵f（x）=2cos²x-sin²x-3cosx-1
∴f（

π

3

）=2cos²

π

3

-sin²

π

3

-3cos

π

3

-1=2×（

1

2

）²-（

3

2

）²-3×

1

2

-1=-

11

4

；
（2）f（x）=2cos²x-sin²x-3cosx-1
=3cos²x-3cosx-2=3（cosx-

1

2

）²-

11

4

∵cosx∈[-1，1]
∴當(dāng)cosx=-1時，函數(shù)f（x）的最大值為4，此時x的集合為{x|x=π+2kπ，k∈Z}
當(dāng)cosx=

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為-

11

4

，此時x的集合為{x|x=±

π

3

+2kπ，k∈Z}．

點評：本題給出關(guān)于sinx、cosx的函數(shù)，求函數(shù)的最大、最小值，并求相應(yīng)的x的集合．著重考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值等知識，屬于中檔題．