Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的范圍．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的范圍．
（3）當(dāng)方程|f（x）|=a的根恰有三個(gè)時(shí)，它們分別為x₁，x₂，x₃．求此時(shí)的a，并求x₁+x₂+x₃的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，即x²+ax+3-a≥0恒成立，必須且只需△=a²-4（3-a）≤0，解不等式可得a的范圍．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，則當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)f（x）的最小值不小于a，分類討論函數(shù)的最小值，最后綜合討論結(jié)果，可得a的范圍．
（3）當(dāng)方程|f（x）|=a的根恰有三個(gè)時(shí)，a=6，結(jié)合此時(shí)函數(shù)圖象的對稱軸為x=-3，得到答案．

解答： 解：（1）f（x）≥a恒成立，
即x²+ax+3-a≥0恒成立，
必須且只需△=a²-4（3-a）≤0，
即a²+4a-12≤0，
∴-6≤a≤2．
（2）f（x）=x²+ax+3=（x+

a

2

）²+3-

a2

4

．
①當(dāng)-

a

2

＜-2，即a＞4時(shí)，
f（x）_min=f（-2）=-2a+7，
由-2a+7≥a得a≤

7

3

，
∴a∈∅．
②當(dāng)-2≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤4時(shí)，
f（x）_min=3-

a2

4

，
由3-

a2

4

≥a，得-6≤a≤2．
∴-4≤a≤2
③當(dāng)-

a

2

＞2，即a＜-4時(shí)，
f（x）_min=f（2）=2a+7，
由2a+7≥a，得a≥-7，
∴-7≤a＜-4．
綜上得a∈[-7，2]．
（3）當(dāng)方程|f（x）|=a的根恰有三個(gè)時(shí)，

a2+4(a-3)=0 a2-4(a+3)＞0

，或

a2+4(a-3)＞0 a2-4(a+3)=0

，
解得：a=6，
函數(shù)f（x）=x²+ax+3的圖象關(guān)于直線x=-3對稱，
故y=|f（x）|的圖象關(guān)于直線x=-3對稱，
方程|f（x）|=a的根恰有三個(gè)時(shí)，它們分別為x₁，x₂，x₃．
x₁+x₂+x₃=-9

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問題，函數(shù)圖象的對折變換，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，難度中檔．