Question

已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，8）．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）數(shù)列{a_n}中，若a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足a_n=f（S_n）（n≥2），
證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）另有一新數(shù)列{b_n}，若將數(shù)列{b_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：記表中的第一列數(shù)b₁，b₂，b₄，b₇，…，構(gòu)成的數(shù)列即為數(shù)列{a_n}，上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當(dāng)時，求上表中第k（k≥3）行所有項的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點的坐標(biāo)代入求出m即可求該函數(shù)的解析式；
（2）先利用條件求出．再把a_n換掉整理后即可證明數(shù)列成等差數(shù)列，然后利用求出的S_n來求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）先求出b₈₁所在位置，再利用每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，求出公比，再代入求和公式即可．
解答：解（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，8）得：m=-2，
函數(shù)的解析式為（2分）
（2）由已知，當(dāng)n≥2時，a_n=f（S_n），即．
又S_n=a₁+a₂++a_n，
所以，即2S_n+S_n•S_n-1=2S_n-1，（5分）
所以，（7分）
又S₁=a₁=1．
所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列．
由上可知，
即．
所以當(dāng)n≥2時，．
因此（9分）
（3）設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0．
因為，
所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{b_n}的前78項，
故b₈₁在表中第13行第三列，（11分）
因此．
又，
所以q=2（13分）
記表中第k（k≥3）行所有項的和為S，
則（16分）
點評：本題是對數(shù)列和函數(shù)的綜合考查．涉及到等比數(shù)列的求和問題，在對等比數(shù)列求和時，一定要先判斷公比的取值．