Question

某足球俱樂(lè)部2013年10月份安排4次體能測(cè)試，規(guī)定：按順序測(cè)試，一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則4次測(cè)試都要參加．若運(yùn)動(dòng)員小李4次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)

1

2

，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為

9

32

．
（1）求小李第一次參加測(cè)試就合格的概率P₁；
（2）求小李10月份參加測(cè)試的次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，寫(xiě)出概率的關(guān)系式，列出方程，得到結(jié)果；
（2）小李參加考核的次數(shù)ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次為

1

4

，

3

8

，

1

2

，

5

8

，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到分布列和期望．

解答： 解：（1）設(shè)小李四次測(cè)試合格的概率依次為：a，a+

1

8

，a+

1

4

，a+

3

8

（a≤

1

2

），…（2分）
則（1-a）（a+

1

8

）=

9

32

，即a2-

7

8

a+

5

32

=0，
解得a=

1

4

或a=

5

8

＞

1

2

（舍），…（5分）
所以小李第一次參加測(cè)試就合格的概率為

1

4

；              …（6分）
（2）因?yàn)镻（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

3

4

×

3

8

=

9

32

，P（ξ=3）=

3

4

×

5

8

×

4

8

=

15

64

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

15

64

，…（8分）
則ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 4	9 32	15 64	15 64

…（10分）
所以Eξ=1×

1

4

+2×

9

32

+3×

15

64

+4×

15

64

=

157

64

，
即小李10月份參加測(cè)試的次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為

157

64

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．