【題目】已知橢圓的短軸長為2，離心率為，，分別是橢圓的右頂點和下頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知是橢圓內(nèi)一點，直線與的斜率之積為，直線分別交橢圓于兩點，記，的面積分別為，.

①若兩點關(guān)于軸對稱，求直線的斜率；

②證明：.

【答案】（1）；（2）①；②詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)短軸長得，再根據(jù)離心率以及的關(guān)系式可解得，從而可求得橢圓的標準方程；

（2）①設(shè)出的斜率，寫出的方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標，再根據(jù)的斜率關(guān)系得的斜率和方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標，根據(jù)，關(guān)于軸對稱，列式可求得；

②用的方程聯(lián)立解得的坐標，通過兩點間的距離算得，只要證明，就可證明.

（1）橢圓的短軸長為，離心率為，

所以，，

解得.

所以橢圓方程為.

（2）

①設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，

聯(lián)立，消去并化簡得，

解得，所以.

因為直線的斜率乘積為，所以直線的方程為，

聯(lián)立，消去并化簡得，

解得，所以.

因為關(guān)于軸對稱，所以，

即，解得.

當時，由，解得，在橢圓外，不滿足題意.

所以直線的斜率為.

②由①得，，，

由，解得.

即.

所以，

，

.

同理利用兩點間的距離公式求得，

，

所以.

所以，

因為，所以

.

即.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知①，②，③，④在如右圖所示的程序框圖中，如果輸入，而輸出，則在空白處可填入（ ）

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【題目】某學(xué)校高二年級舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽，計分規(guī)則如下表：

每分鐘跳繩個數(shù)

得分

16

17

18

19

20

年級組為了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機抽取了100名學(xué)生的跳繩個數(shù)作為一個樣本，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個數(shù)中，任意抽取2人的跳繩個數(shù)，求兩人得分之和小于35分的概率；（用最簡分數(shù)表示）

（2）若該校高二年級共有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的一分鐘跳繩個數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表）.利用所得的正態(tài)分布模型，解決以下問題：

（i）估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

（ii）若在全年級所有學(xué)生中隨機抽取3人，每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.

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（1）求橢圓方程；

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