Question

【題目】已知，函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，求證：

Answer 1

【答案】（1）在 是增函數(shù)， 是減函數(shù)；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)，再分類討論，分別令 可得增區(qū)間，令可得得減區(qū)間；(2)討論兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及結(jié)合函數(shù)的極值及簡圖即可求出的范圍；（3）由，只要證明： 就可以得出結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)： ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明.

試題解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），其導(dǎo)數(shù)f'（x）=﹣a．

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當(dāng)a＞0時(shí)，在區(qū)間（0，）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（，+∞）上，f'（x）＜0．

∴f（x）在（0，）是增函數(shù)，在（，+∞）是減函數(shù)．

（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)，此時(shí)f（）為函數(shù)f（x）的最大值，

當(dāng)f（）≤0時(shí)，f（x）最多有一個(gè)零點(diǎn)，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，

此時(shí)，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，

f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），

令F（a）=3﹣2lna﹣，則F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，

∴a的取值范圍是（0，1）．

（3）由（2）可知函數(shù)f（x）在（0，）是增函數(shù)，在（，+∞）是減函數(shù)．分析：∵0，∴．只要證明：f（）＞0就可以得出結(jié)論．

下面給出證明：構(gòu)造函數(shù)：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），則g'（x）=+2a=，

函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，]上為減函數(shù)．0＜x1，則g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，

于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，

由（1）可知，即．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、證明不等式，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，在定義域內(nèi)解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，在定義域內(nèi)解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.