Question

13．已知圓M的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）若點P的坐標為（0，0），求∠APB；
（2）若點P的坐標為（2，1），過P作直線與圓M交于C、D兩點，當$CD=\sqrt{2}$時，求直線CD的方程；
（3）經過A、P、M三點的圓是否經過異于點M的定點，若經過，請求出此定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出MP=2，推出∠MPA=∠MPA=30°，即可求出∠APB．
（2）當直線斜率不存在時，不合題意；當直線斜率存在時，設直線CD方程為y-1=k（x-2），利用圓心M到直線CD的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出k沒然后求解直線方程．
（3）設P（2m，m），MP的中點$Q（m，\frac{m}{2}+1）$，求出經過A、P、M三點的圓是以Q為圓心，MQ為半徑的圓，
的方程，然后求解，交點坐標，推出經過A、P、M三點的圓經過異于點M的定點$（{\frac{4}{5}，\frac{2}{5}}）$．

解答 解：（1）因為點P坐標為（0，0），所以MP=2，
又因為MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°，故∠APB=60°．
（2）當直線斜率不存在時，不合題意；
當直線斜率存在時，設直線CD方程為y-1=k（x-2）
因為$CD=\sqrt{2}$，所以圓心M到直線CD的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由$\frac{{|{-2k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得k=-1或$k=-\frac{1}{7}$，
故直線CD的方程為：x+y-3=0或x+7y-9=0．
（3）設P（2m，m），MP的中點$Q（m，\frac{m}{2}+1）$，
因為PA為圓M的切線，
所以經過A、P、M三點的圓是以Q為圓心，MQ為半徑的圓，
故其方程為${（x-m）^2}+{（y-\frac{m}{2}-1）^2}={m^2}+{（\frac{m}{2}-1）^2}$
化簡得x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}\\ y=\frac{2}{5}\end{array}\right.$，
所以經過A、P、M三點的圓經過異于點M的定點$（{\frac{4}{5}，\frac{2}{5}}）$．

點評 本題考查圓的方程的綜合應用，直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．