Question

【題目】已知各項均為正數的兩個數列{an}和{bn}滿足：an+1= ，n∈N* ，
（1）設bn+1=1+ ，n∈N*，求證：數列{ }是等差數列；
（2）設bn+1= ，n∈N*，且{an}是等比數列，求a1和b1的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，an+1= = =

∴

從而數列{ }是以1為公差的等差數列

（2）解：∵an＞0，bn＞0

∴

從而 （*）

設等比數列{an}的公比為q，由an＞0可知q＞0

下證q=1

若q＞1，則 ，故當 時， 與（*）矛盾

0＜q＜1，則 ，故當 時， 與（*）矛盾

綜上可得q=1，an=a1，

所以，

∵

∴數列{bn}是公比 的等比數列

若 ，則 ，于是b1＜b2＜b3

又由 可得

∴b1，b2，b3至少有兩項相同，矛盾

∴ ，從而 =

∴

【解析】（1）由題意可得，an+1= = = ，從而可得 ，可證（2）由基本不等式可得， ，由{an}是等比數列利用反證法可證明q= =1，進而可求a1 ， b1
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差關系的確定的相關知識，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列，以及對等比數列的基本性質的理解，了解{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列．