Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，PC⊥面ABC，直線AM與直線PC所成的角為60°，求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量即可得到異面直線所成的角，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用兩個(gè)平面的法向量即可得出二面角．
解答：解：在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）
由題意有A（，，0），設(shè)P（0，0，z），（z＞0），
則M（0，1，z），=，，
由直線AM與直線PC所成的角為60°，得，
即，解得z=1，
∴=（0，1，1），，
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為，
則，即，取x₁=1，得=（1，，-）．          
平面ABC的法向量為，∴，
又∵二面角M-AC-B為銳角，∴二面角M-AC-B的平面角余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用異面直線的方向向量得到異面直線所成的角、利用兩個(gè)平面的法向量求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．