Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)證明PC⊥平面ABC，證明平面PAC⊥平面ABC；
（2）解法一：（幾何法）取BC的中點(diǎn)N，則CN=1，連接AN，MN，說(shuō)明∠MHN為二面角M-AC-B的平面角，解三角形求二面角M-AC-B的大小；
解法二：（向量法）在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出平面MAC的一個(gè)法向量為

n

=(x1，y1，z1)，平面ABC的法向量取為

m

=(0，0，1)，利用cosθ=

m • n

| m |•| n |

，解答即可．

解答：證明：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABC，…（2分）
又∵PC?平面PAC
∴平面PAC⊥平面ABC…（5分）
（2）解法一：（幾何法）
取BC的中點(diǎn)N，則CN=1，連接AN，MN，
∵PM∥CN，PM=CN
∴MN∥PC，MN=PC，
從而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于H，連接MH，則由三垂線定理知，AC⊥NH，
從而∠MHN為二面角M-AC-B的平面角
直線AM與直線PC所成的角為60⁰
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN=

AC2+CN2-2AC•CN•cos120°

=

3

；
在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

3

×

3

3

=1；
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×

3

2

=

3

2

；
在△MNH中，MN=tan∠MHN=

MN

NH

=

1

3 2

=

2 3

3

；
則cos∠MHN=

1 1+tan2∠MHN

=

21

7

解法二：（向量法）
在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）…（6分）
由題意有A(

3

2

，-

1

2

，0)，設(shè)P（0，0，z₀）（z₀＞0），
則M(0，1，z0)，

AM

=(-

3

2

，

3

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)
由直線AM與直線PC所成的解為60⁰，得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos600，即z02=

1

2

z02+3

•z0，
解得z₀=1…（8分）
∴

CM

=(0，1，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則

y1+z1=0 3 2 x1- 1 2 y1=0

，
取x₁=1，得

n

=(1，

3

，-

3

)…（9分）
平面ABC的法向量取為

m

=(0，0，1)…（10分）
設(shè)

m

與

n

所成的角為θ，則cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

3

7

…（11分）
顯然，二面角M-AC-B的平面角為銳角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值為

21

7

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等有關(guān)知識(shí)，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力．