Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)證明PC⊥平面ABC，證明平面PAC⊥平面ABC；
（2）解法一：（幾何法）取BC的中點(diǎn)N，則CN=1，連接AN，MN，說(shuō)明∠MHN為二面角M-AC-B的平面角，解三角形求二面角M-AC-B的大��；
解法二：（向量法）在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出平面MAC的一個(gè)法向量為，平面ABC的法向量取為，利用，解答即可．
解答：證明：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABC，…（2分）
又∵PC?平面PAC
∴平面PAC⊥平面ABC…（5分）
（2）解法一：（幾何法）
取BC的中點(diǎn)N，則CN=1，連接AN，MN，
∵PM∥CN，PM=CN
∴MN∥PC，MN=PC，
從而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于H，連接MH，則由三垂線定理知，AC⊥NH，
從而∠MHN為二面角M-AC-B的平面角
直線AM與直線PC所成的角為60
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN==；
在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=×=1；
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×=；
在△MNH中，MN=tan∠MHN===；
則cos∠MHN==
解法二：（向量法）
在平面ABC內(nèi)，過(guò)C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz（如圖）…（6分）
由題意有，設(shè)P（0，0，z）（z＞0），
則
由直線AM與直線PC所成的解為60，得，即，
解得z=1…（8分）
∴，
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為，
則，
取x₁=1，得…（9分）
平面ABC的法向量取為…（10分）
設(shè)與所成的角為θ，則…（11分）
顯然，二面角M-AC-B的平面角為銳角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等有關(guān)知識(shí)，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力．