Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1且對于任意正整數n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足：b_n=na_n，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：當n≥2時，T_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點在直線上則S_n=2-2a_n+1，根據遞推關系可得n≥2時，S_n-1=2-2a_n，兩式作差，可得數列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數列，從而通項公式；
（2）根據數列{b_n}的特征，利用錯位相消法求出其前n項和T_n，然后化簡整理可證得結論，當n≥2時，T_n＜4．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即∴S_n=2-2a_n+1    ①
當n≥2時，∴S_n-1=2-2a_n     ②…（3分）
由①-②可得：a_n=2a_n+1∴（n≥2）又a₁=1，a₂=符合上式
數列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數列
∴                  …（6分）
（2）由（1）知b_n=na_n=
∴T_n=1+2+3+4+…+     …③
∴T_n=+2+3+4+…+    …④
由③-④得∴…（12分）
點評：本題主要考查了等比數列的通項公式，數列的求和，以及不等式的證明，是一道綜合題，屬于中檔題．