Question

有下列幾個命題：
（1）函數(shù)f（x）=sin（

π

3

-2x）（x∈R）在區(qū)間﹙-

π

12

，

5π

12

﹚上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)α∈﹙0，

π

2

﹚時，sinα＜α＜tanα．
（3）若y=sinx-log_ax有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍﹙

2

11π

，

2

7π

﹚∪﹙

9π

2

，

13π

2

﹚．
（4）一種放射性元素的質(zhì)量按每年20%衰減，則這種射性元素的半衰期為2.5年（lg≈0.3）．
（5）定義運(yùn)算

.

a b

c d

.

=ad-bc，已知函數(shù)?（x）=

.

sinx cosx

1 3

.

，若方程f²（x）=k在區(qū)間﹙-

π

12

，

π

4

﹚上有兩解，實(shí)數(shù)k的范圍是（0，2，-

3

）．
其中正確命題的序號是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）函數(shù)f（x）=sin（

π

3

-2x）=-sin(2x-

π

3

)，由x∈﹙-

π

12

，

5π

12

﹚可得-

π

2

＜2x-

π

2

＜

π

6

，即可判斷出單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）=x-sinx，g（x）=x-tanx，x∈﹙0，

π

2

﹚，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）若y=sinx-log_ax有5個零點(diǎn)，當(dāng)0＜a＜1時，必須滿足：loga

7π

2

＞-1，loga

11π

2

＜-1，解得a的范圍；同理，當(dāng)a＞1時，解出即可判斷出；
（4）一種放射性元素的質(zhì)量按每年20%衰減，可得（1-20%）ⁿ=0.5，解得n即可判斷出．
（5）利用行列式定義可得函數(shù)f（x）=2sin(x-

π

6

)，x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，f²（x）=4sin2(x-

π

6

)=2-2cos(2x-

π

3

)，由x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，分x∈(-

π

12

，

π

6

)時，x∈[

π

6

，

π

4

)時，得出函數(shù)的單調(diào)性值域，即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（

π

3

-2x）=-sin(2x-

π

3

)，由x∈﹙-

π

12

，

5π

12

﹚可得-

π

2

＜2x-

π

2

＜

π

6

，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間﹙-

π

12

，

5π

12

﹚上單調(diào)遞減，不正確．
（2）設(shè)f（x）=x-sinx，g（x）=x-tanx，x∈﹙0，

π

2

﹚，f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=1-

1

cos2x

＜0，∴函數(shù)f（x），g（x）在x∈﹙0，

π

2

﹚上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＜g（0）=0，可得sinα＜α＜tanα，正確．
（3）若y=sinx-log_ax有5個零點(diǎn)，當(dāng)0＜a＜1時，必須滿足：loga

7π

2

＞-1，loga

11π

2

＜-1，解得a∈﹙

2

11π

，

2

7π

﹚，同理，當(dāng)a＞1時，a∈﹙

9π

2

，

13π

2

﹚．
因此實(shí)數(shù)a取值范圍﹙

2

11π

，

2

7π

﹚∪﹙

9π

2

，

13π

2

﹚，正確．
（4）一種放射性元素的質(zhì)量按每年20%衰減，可得（1-20%）ⁿ=0.5，解得n=

lg0.5

lg0.8

=

-lg2

3lg2-1

≈

-0.3

0.9-1

=3．因此這種射性元素的半衰期為3年，不正確．
（5）由函數(shù)f（x）=

.

sinx cosx

1 3

.

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)，x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，f²（x）=4sin2(x-

π

6

)=2-2cos(2x-

π

3

)，
∵x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，∴當(dāng)x∈(-

π

12

，

π

6

)時，函數(shù)f²（x）單調(diào)遞減，f²（x）∈（2，0）；當(dāng)x∈[

π

6

，

π

4

)時，函數(shù)f²（x）單調(diào)遞增，f²（x）∈[0，2-

3

），因此，由方程f²（x）=k在區(qū)間﹙-

π

12

，

π

4

﹚上有兩解，∴實(shí)數(shù)k的范圍是（0，2-

3

），正確．
故答案為：（2）（3）（5）．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、行列式的計(jì)算，考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．