Question

海島O上有一座海拔1000米的山，山頂上設(shè)有一個(gè)觀察站A，上午11時(shí)，測得一輪船在島北偏東60°C處，俯角30°，11時(shí)10分，又測得該船在島的北偏西60°西B處，俯角60°．
①這船的速度每小時(shí)多少千米？
②如果船的航速不變，它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？此時(shí)所在點(diǎn)E離島多少千米？

Answer 1

分析：①在△OAB先根據(jù)OA和∠OBA求得OB，再在△OBC中根據(jù)余弦定理求得BC，進(jìn)而求得根據(jù)上午11時(shí)和11時(shí)10分的時(shí)間差及路程BC，可求得船速．
②在△OBC通過余弦定理求得cos∠OBC，在△EBO中進(jìn)而根據(jù)sin∠EBO=sin∠OBC，求得sin∠EBO，進(jìn)而求得sin∠OBE，再由正弦定理求得OE和BE，再由①中的速度求得時(shí)間．

解答：解：①如圖：所示．OB=OAtan30°=

3

3

（千米），OC=

3

（千米）
則BC=

OB2+OC2-2OB•OCcos120°

=

13 3

（千米）
∴船速v=

13 3

÷

10

60

=2

39

（千米/小時(shí)）
②由余弦定理得：cos∠OBC=

OB2+BC2-OC2

2OB×BC

=

5 13

26

，
∴sin∠EBO=sin∠OBC=

1-( 5 13 26 )2

=

3 39

26

，cos∠EBO=-

5 13

26

，sin∠OEB=sin[180°-（∠EBO+30°）]=sin(∠EBO+30°)=sin∠EBO×cos30°+cos∠EBO×sin30°=

13

13

．
再由正弦定理，得OE=1.5（千米），BE=

39

6

(千米)，

BE

v

=5（分鐘）．
答：船的速度為2

39

千米/小時(shí)；如果船的航速不變，它5分鐘到達(dá)島的正西方向，此時(shí)所在點(diǎn)E離島1.5千米．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用．這是一個(gè)立體的圖形，要注意畫圖和空間的簡單感覺．