如圖，正四棱柱中，底面邊長為2，側棱長為3，E為BC的中點，F(xiàn)、G分別為、上的點，且CF=2GD=2.求：

（1）到面EFG的距離；

（2）DA與面EFG所成的角的正弦值；

（3）在直線上是否存在點P，使得DP//面EFG?,若存在，找出點P的位置，若不存在，試說明理由。

 

【答案】

1）（2）=  （3）DP//面EFG

【解析】本試題主要是考查了空間幾何體中點到面的距離，以及線面角的求解，和線面平行的判定的綜合運用。

（1）合理的建立空間直角坐標系，利用向量在法向量上的投影得到點C‘到面EFG的距離；

（2）而對于線面角，DA與面EFG所成的角的正弦值則可以利用斜向量與法向量的關系，運用數(shù)量積的夾角公式得到。

（3）假設在直線BB’上是否存在點P，使得DP//面EFG，根據(jù)假設推理論證得到點P的坐標。解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系

 

則E(1，2，0)，F(xiàn)（0，2，2），G（0，0，1）∴=（－1，0，2），=（0，－2，－1），

設=（x，y，z）為面EFG的法向量，則=0，=0，x=2z，z=-2y，取y=1，

得=（－4，1，－2）

（1）∵=（0，0，－1），∴C’到面EFG的距離為 

（2）=（2，0，0），設DA與面EFG所成的角為θ，則= 

（3）存在點P，在B點下方且BP=3，此時P(2，2，－3)=(2，2，－3)，∴=0，∴DP//面EFG

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2
2
，側棱長為4，E、F分別是棱AB，BC的中點，EF與BD相交于G．
（1）求證：平面EFB1⊥平面BDD1B1；
（2）求點B到平面B1EF的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（即底面為正方形的直四棱柱）中，AA1=2AB=4，點 E 在 CC1 上且 C1E=3EC．
（1）證明：A1C丄平面BED；
（2）求直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正四棱柱中，底面邊長為，側棱長為4，點分別為棱的中點，，求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆北京市高二第一學期期中考試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，正四棱柱中，的中點，為下底面正方形的中心，

  （1）求證：；

  （2）求異面直線所成角的余弦值；

  （3）求二面角的余弦值.

 

 

 

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