（2012•湖南模擬）如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（即底面為正方形的直四棱柱）中，AA1=2AB=4，點(diǎn) E 在 CC1 上且 C1E=3EC．
（1）證明：A1C丄平面BED；
（2）求直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值．
分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則
A1C
=(-2，2，-4)，
DB
=(2，2，0)，
DE
=(0，2，1)，由向量法能夠證明A1C丄平面BED．
（2）由
A1E
=(-2，2，-3)，
A1D
=(-2，0，-4)，求出平面A1DE的法向量
n
=(-4，-1，2)，取
A1C
=（-2，2，-4），
設(shè)直線A1C與平面A1DE所成角為θ，由sinθ=|cos＜
n
，
A1C
＞|能求出直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
∴
A1C
=(-2，2，-4)，
DB
=(2，2，0)，
DE
=(0，2，1)，
∵
A1C
•
DB
=-2×2+2×2-4×0=0，
A1C
•
DE
=-2× 0+2×2-4×1=0，
∴
A1C
⊥
DB
，
A1C
⊥
DE
，
∴A1C丄平面BED．
（2）解：∵
A1E
=(-2，2，-3)，
A1D
=(-2，0，-4)，
設(shè)平面A1DE的法向量為
n
=(x，y，z)，
∵
n
•
A1E
=0，
n
•
A1D
=0，
∴
-2x+2y-3z=0
-2x-4z=0
，
取
n
=(-4，-1，2)，
A1C
=（-2，2，-4），
設(shè)直線A1C與平面A1DE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜
n
，
A1C
＞|=|
8-2-8
21
•
24
|=
14
42
，
∴直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值為
14
42
．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明和求直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，合理地建立空間直角坐標(biāo)系，注意向量法的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）記φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函數(shù)φ（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），求證：φ′(
x1+x2
2
)＞0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知向量
m
=(2cos2x，
3
)，
n
=(1，sin2x)，函數(shù)f(x)=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f(C)=3，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導(dǎo)函數(shù)f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2，若當(dāng)實(shí)數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，則b-a的最大值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f(x)=
-x-1(x＜-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x＞
1
2
)
（x∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關(guān)于x的不等式f（x）≥m2+2m-2對任意x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=（m2-1）x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）設(shè)曲線y=xn+1（n∈N）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案