Question

設n個正數(shù)a₁，a₂，…，a_n滿足a₁≤a₂≤…≤a_n（n∈N^*且n≥3）．
（1）當n=3時，證明：

a1a2

a3

+

a2a3

a1

+

a3a1

a2

≥a₁+a₂+a₃；
（2）當n=4時，不等式

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+

a3a4

a1

+

a4a1

a2

≥a₁+a₂+a₃+a₄也成立，請你將其推廣到n（n∈N^*且n≥3）個正數(shù)a₁，a₂，…，a_n的情形，歸納出一般性的結論并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,不等式的證明

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）利用作差法證明即可；
（2）歸納的不等式為：

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

≥a1+a2+…+an（n∈N^*且n≥3），再用數(shù)學歸納法進行證明．

解答： （1）證明：因為a_n（n∈N^*且n≥3）均為正實數(shù)，
左-右=

1

2

(

a1a3

a2

+

a1a2

a3

-2a1)+

1

2

(

a2a3

a1

+

a1a2

a3

-2a2)+

1

2

(

a2a3

a1

+

a1a3

a2

-2a3)≥

1

2

(2

a1a3 a2 × a1a2 a3

-2a1)+

1

2

(2

a2a3 a1 × a1a2 a3

-2a2)+

1

2

(2

a2a3 a1 × a1a3 a2

-2a3)=0，
所以，原不等式

a2a3

a1

+

a1a3

a2

+

a1a2

a3

≥a1+a2+a3成立．    …（4分）
（2）解：歸納的不等式為：

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

≥a1+a2+…+an（n∈N^*且n≥3）．…（5分）
記Fn=

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

-(a1+a2+…+an)，
當n=3（n∈N^*）時，由（1）知，不等式成立；
假設當n=k（k∈N^*且k≥3）時，不等式成立，即Fk=

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

ak-2ak-1

ak

+

ak-1ak

a1

+

aka1

a2

-(a1+a2+…+ak)≥0．
則當n=k+1時，Fk+1=

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

ak-2ak-1

ak

+

ak-1ak

ak+1

+

akak+1

a1

+

ak+1a1

a2

-(a1+a2+…+ak+ak+1)
=Fk+

ak-1ak

ak+1

+

akak+1

a1

+

ak+1a1

a2

-

ak-1ak

a1

-

aka1

a2

-ak+1…（7分）
=Fk+ak-1ak(

1

ak+1

-

1

a1

)+ak+1(

ak

a1

-1)+

a1

a2

(ak+1-ak)≥0+

a

2 k

(

1

ak+1

-

1

a1

)+ak+1(

ak

a1

-1)+

a1

ak

(ak+1-ak)
=(ak+1-ak)(

ak

a1

+

a1

ak

-

ak+1+ak

ak+1

)，
因為a_k+1≥a_k，

ak

a1

+

a1

ak

≥2，

ak+1+ak

ak+1

≤

ak+1+ak+1

ak+1

=2，
所以F_k+1≥0，
所以當n=k+1，不等式成立．                   …（9分）
綜上所述，不等式

a1a2

a3

+

a2a3

a4

+…+

an-2an-1

an

+

an-1an

a1

+

ana1

a2

≥a1+a2+…+an（n∈N^*且n≥3）成立．…（10分）

點評：本題考查等式的證明，數(shù)學歸納法的證明方法的應用，考查計算能力與邏輯推理能力．