Question

求函數(shù)f（x）=x²-2tx+3在區(qū)間[2，4]上的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：分別討論①當t＜2時，②當2≤t≤3時，③當3＜t≤4時，④當t＞4時的情況，從而求出函數(shù)的最值，進而求出函數(shù)的值域．

解答： 解：∵f（x）=x²-2tx+3=（x-t）²+3-t²，
函數(shù)的對稱軸是x=t，開口向上，
①當t＜2時，函數(shù)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)增，
∴f（x）_min=f（2）=7-4t，
f（x）_max=f（4）=19-8t；
②當2≤t≤3時，函數(shù)在區(qū)間[2，t]上單調(diào)減，在區(qū)間[t，4]上單調(diào)增，
∴f（x）_min=f（t）=3-t²；f（x）_max=f（4）=19-8t，
③當3＜t≤4時，函數(shù)在區(qū)間[2，t]上單調(diào)減，在區(qū)間[t，4]上單調(diào)增，
∴f（x）_min=f（t）=3-t²；f（x）_max=f（2）=7-4t，
，函數(shù)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（4）=19-8t，f（x）_max=f（2）=7-4t．
綜上：當t＜2時，函數(shù)f（x）的值域為：[7-4t，19-8t]，
當2≤t≤3時，函數(shù)f（x）的值域為：[3-t²，19-8t]，
當3＜t≤4時，函數(shù)f（x）的值域為：[3-t²，7-4t]，
當t＞4時，函數(shù)f（x）的值域為：[19-8t，7-4t]．

點評：本題考查了函數(shù)的值域問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．