解:(Ⅰ)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/145271.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/145272.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/385858.png)
,
∵x
1≠x
2,
∴a≥0.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,+∞).
(Ⅱ)(理)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75042.png)
,
顯然f(0)=-2,對(duì)稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75043.png)
.
(1)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75044.png)
,即0<a<2時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150608.png)
,且f[M(a)]=-4.
令ax
2+4x-2=-4,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75046.png)
,
此時(shí)M(a)取較大的根,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150609.png)
,
(2)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75049.png)
,即a≥2時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150611.png)
,且f[M(a)]=4.
令ax
2+4x-2=4,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75051.png)
,
此時(shí)M(a)取較小的根,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150612.png)
,
(Ⅲ)(理) 由(2)知,
當(dāng)0<a<2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/385859.png)
. 此時(shí) M(a)>-1
當(dāng)a≥2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150613.png)
. 此時(shí) M(a)≥-3(當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí),取等號(hào))
∵-3<-1,
∴當(dāng)a=2時(shí),M(a)取得最小值-3.
(Ⅱ)(文)∵f(0)=-2
由x∈[b,1]時(shí),f(x)≥-2都成立
∴b≥0
∴b的最小值為0
(Ⅲ)(文)由(Ⅱ)知 b≥0
∴f(x)在[b,1]上為增函數(shù),
∴f(1)≤3b
即:a+4-2≤3b
又 由(Ⅰ)a≥0
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/385860.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/385861.png)
分析:(I)由已知中函數(shù)f(x)=ax
2+4x-2,我們求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/145271.png)
的解析式,并根據(jù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/41665.png)
判斷其符號(hào),即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)(理)由已知中函數(shù)f(x)=ax
2+4x-2的解析式,結(jié)合(I)的結(jié)論,我們可得對(duì)稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75043.png)
,我們分
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75044.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/75049.png)
,兩種情況進(jìn)行分類討論,最后綜合討論結(jié)果,即可得到答案.
(III)(理)由(2)知,當(dāng)0<a<2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/385859.png)
. 當(dāng)a≥2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/150613.png)
. 我們根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則,分別求出各段上函數(shù)的最小值,即可得到,M(a)的最小值-3.
(II)(文)由已知中當(dāng)x∈[b,1]時(shí),f(x)≥-2都成立,結(jié)合f(0)=-2,易得b≥0,進(jìn)而得到b的最小值;
(Ⅲ)(文)由(Ⅱ)中的結(jié)論可知b≥0,進(jìn)而可以判斷出函數(shù)f(x)在區(qū)間[b,1]上為增函數(shù),進(jìn)而根據(jù)x∈[b,1]時(shí),-2≤f(x)≤3b都成立,構(gòu)造關(guān)于b的不等式,解不等式,即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,分段函數(shù)的最小值,函數(shù)恒成立問(wèn)題,其中(I)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì),判斷出實(shí)數(shù)a的取值范圍,理科(II)的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)f(x)=ax
2+4x-2的對(duì)稱軸
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,確定分類標(biāo)準(zhǔn),(III)的關(guān)鍵是根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則,得到分段函數(shù)的最值,而文科(II)(III)的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于b的不等式.