Question

過原點的直線交雙曲線x²-y²=4

2

于P，Q兩點，現(xiàn)將坐標平面沿直線y=-x折成直二面角，則折后線段PQ的長度的最小值等于

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間角

分析：將雙曲線按逆時針方向旋轉45°角，可得雙曲線y=

2 2

x

的圖象．問題轉化為：過原點的直線交雙曲線y=

2 2

x

于P、Q兩點將坐標平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段PQ的長度的最小值．設P（t，

2 2

t

），其中t＞0，作PM⊥y軸于M，連結MQ．利用兩點間的距離公式、面面垂直的性質和勾股定理，算出|PQ|²=2t²+

32

t2

，最后利用基本不等式加以計算，即可求出折后線段PQ的長度的最小值．

解答： 解：∵雙曲線x²-y²=4

2

是等軸雙曲線，以直線y=±x為漸近線
∴將雙曲線按逆時針方向旋轉45°角，可得雙曲線y=

m

x

的圖象
∵雙曲線x²-y²=4

2

的頂點（

4	32

，0），逆時針方向旋轉45°
變?yōu)辄c（

4	8

，

4	8

）
∴點（

4	8

，

4	8

）在y=

m

x

的圖象上，可得m=

4	8

•

4	8

=2

2

，
即雙曲線按逆時針方向旋轉45°角，得到雙曲線y=

2 2

x

的圖象
問題轉化為：過原點的直線交雙曲線y=

2 2

x

于P、Q兩點
將坐標平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段PQ的長度的最小值
設P（t，

2 2

t

）（t＞0），過點P作PM⊥y軸于M，連結MQ，
可得M（0，

2 2

t

），Q（-t，-

2 2

t

），
|MQ|=

(0+t)2+( 2 2 t + 2 2 t )2

=

t2+ 32 t2

，
在折疊后的圖形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，
得|PQ|²=|PM|²+|MQ|²=2t²+

32

t2

≥2

2t2• 32 t2

=16，
當且僅當t²=4，即t=2時等號成立，
∴當t=2時，即P坐標為（2，

2

）時，|PQ|的最小值為

16

=4．
綜上所述，折后線段PQ的長度的最小值等于4．
故答案為：4．

點評：本題給出平面圖形的折疊，求折后P、Q兩點間的最短距離．著重考查了兩點間的距離公式、面面垂直的性質、勾股定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．同時考查了邏輯推理能力和運算能力，考查了轉化歸和數(shù)形結合的數(shù)學思想的應用等知識，是一道好題．