Question

如圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=BC=DC=2，AE=2

2

，AB⊥AD，且AE⊥平面ABD，平面CBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角A-EC-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，取BD中點T，連CT，AT，求出平面CDE的一個法向量，證明

AB

•

n

=0，可得AB∥平面CDE；
（Ⅱ）轉化為求兩平面法向量的夾角，求出平面CDE的一個法向量、平面AEC的一個法向量，利用向量夾角公式即可求得，注意二面角與向量夾角的關系；

解答： （Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2

2

），
取BD中點T，連CT，AT，則CT⊥BD，
又平面CBD⊥平面ABD，
∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，
∵CD=BC=2，BD=2

2

，
∴CD⊥CB，∴CT=

2

，
∴C（1，1，

2

），
∴

AB

=（2，0，0），

DE

=（0，-2，2

2

），

DC

=（1，-1，

2

），
設平面CDE的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則有

-2y+2 2 z=0 x-y+ 2 z=0

，
取z=2，則y=2

2

，x=0，
∴

n

=（0，2

2

，2），
∴

AB

•

n

=0
∴AB∥平面CDE；
（Ⅱ）解：∵BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∴平面AEC的一個法向量為

BD

=（-2，2，0），
∵平面CDE的一個法向量

n

=（0，2

2

，2），
∴cos＜

n

，

BD

＞=

3 2

2 2 •2 3

=

3

4

，
∴二面角A-EC-D的余弦值為

3

4

．

點評：本題考查利用空間向量求二面角、判定線面平行，考查學生的運算求解能力，考查學生推理論證能力，屬中檔題．