Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直坐標(biāo)系中，已知橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個交點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交與A，B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上，直線平分線段，求：當(dāng)的面積取得最大值時直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴又，

∴，∴  

∴橢圓的方程為…………………………………………2分

又∵橢圓與直線 有且只有一個交點(diǎn)

∴方程即有相等實(shí)根

∴    ∴ 

∴橢圓的方程為………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為 故

設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程交橢圓于

由得    ……………………………6分

∴  ………………7分       

直線方程為且平分線段 

∴=解得 ……………………………………………8分

∴

又∵點(diǎn)到直線的距離 

∴…………………………………………9分

設(shè)    

由直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)可得

求導(dǎo)可得，此時取得最大值

此時直線的方程……………………………………………12分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程，點(diǎn)到直線的距離。

點(diǎn)評：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，常常運(yùn)用韋達(dá)定理，本題屬于中檔題。