Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+k（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，且f（x）還滿足以下三個條件：
①最大值是3；②圖象關(guān)于點(diǎn)(

3π

4

，1)對稱；③在區(qū)間[0，π]上是單調(diào)函數(shù)．則函數(shù)f（x）的表達(dá)式是

f(x)=2sin(

2

3

x+

π

2

)+1

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的對稱中心的縱坐標(biāo)求出k的值，由最值求出A，根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，0≤φ≤π 可得 φ 值，由 sin（ω•

3π

4

+

π

2

）=0，可得ω的值．

解答：解：由①函數(shù)的最大值是3、②圖象關(guān)于點(diǎn)(

3π

4

，1)對稱，可得 k=1，A+1=2，故A=2，故函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1．
根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，0≤φ≤π 可得 φ=

π

2

． 再由 sin（ω•

3π

4

+

π

2

）=0，ω＞0，可得ω•

3π

4

+

π

2

=π，ω=

2

3

．
經(jīng)檢驗(yàn)f(x)=2sin(

2

3

x+

π

2

)+1滿足③在區(qū)間[0，π]上是單調(diào)函數(shù)，
故答案為 f(x)=2sin(

2

3

x+

π

2

)+1．

點(diǎn)評：本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ ）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．