【題目】如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,CC1=5,E是棱CC1上不同于端點的點,且.
(1) 當∠BEA1為鈍角時,求實數(shù)λ的取值范圍;
(2) 若λ=,記二面角B1-A1B-E的的大小為θ,求|cosθ|.
【答案】(1)(,).(2).
【解析】
試題解析:
解:(1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
由題設(shè),知B(2,3,0),A1(2,0,5),C(0,3,0),C1(0,3,5).
因為,所以E(0,3,5λ).
從而=(2,0,-5λ),=(2,-3,5-5λ). 2分
當∠BEA1為鈍角時,cos∠BEA1<0,
所以<0,即2×2-5λ(5-5λ)<0,
解得<λ<.
即實數(shù)λ的取值范圍是(,). 5分
(2)當λ=時,=(2,0,-2),=(2,-3,3).
設(shè)平面BEA1的一個法向量為n1=(x,y,z),
由 得
取x=1,得y=,z=1,
所以平面BEA1的一個法向量為n1=(1,,1). 7分
易知,平面BA1B1的一個法向量為n2=(1,0,0).
因為cos< n1,n2>=,
從而|cosθ|=. 10分
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【題目】a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:
①當直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角;
②當直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角;
③直線AB與a所成角的最小值為45°;
④直線AB與a所成角的最大值為60°.
其中正確的是________.(填寫所有正確結(jié)論的編號)
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【題目】如圖,橢圓經(jīng)過點,離心率,直線的方程為.
求橢圓的方程;
是經(jīng)過右焦點的任一弦(不經(jīng)過點),設(shè)直線與直線相交于點,記, , 的斜率為, , .問:是否存在常數(shù),使得?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為
(1)求的解析式;
(2)若對任意的均有求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)為兩個正數(shù),求證:
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且Sn=1(n∈N),數(shù)列{bn}是公差d不等于0的等差數(shù)列,且滿足:b1=,而b2,b5,ba14成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
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【題目】已知,是平面,,是直線,給出下列命題:
①若,,則;
②若,,,,則;
③如果,,,是異面直線,則與相交;
④若.,且,,則,且
其中正確確命題的序號是_____(把正確命題的序號都填上)
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【題目】已知橢圓的離心率為,上頂點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點的直線與橢圓交于不同的兩點,線段的中點為,使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線,直線與E交于A、B兩點,且,其中O為原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)點C坐標為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明: 為定值.
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