Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a是常數(shù)），函數(shù)g（x）=|f（x）|．
（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）中通過求導(dǎo)得出單調(diào)減區(qū)間，（Ⅱ）對a進行分類討論結(jié)合圖形得出g（x）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）若a＞0，f′x）=3（x+

a

）（x-

a

），令f′（x）＜0，解得：-

a

＜a＜

a

，
∴y=f（x）的減區(qū)間是：（-

a

，

a

）．
（Ⅱ）若a≤0，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
g（x）_max=|f（1）|=1-3a，
若a＞0，由（Ⅰ）得：f（x）在（0，

a

）遞減，在（

a

，+∞）遞增，
g（x）在（0，+∞）上的草圖，如圖示：

因g（

a

）=2a

a

，
∴g（2

a

）=2a

a

，
三次方程x³-3ax=2a

a

的較大實根為：x=2

a

．
故當(dāng)

a

≥1，即a≥1時，g（x）_max=|f（1）|=3a-1，
當(dāng)

a

＜1≤2

a

，即

1

4

≤a＜1時，
g（x）_max=|f（

a

）|=2a

a

，
當(dāng)2

a

＜1，即0＜a＜

1

4

時，
g（x）_max=|f（1）|=1-3a，
綜上所述：g（x）_max=

1-3a       (a≤ 1 4 ) 2a a        ( 1 4 ＜a≤1) 3a-1        (a＞1)

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，求函數(shù)的最值，滲透了求導(dǎo)及數(shù)形結(jié)合，是一道中檔題．