Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都是2，又AA₁⊥平面ABC，D、E分別是AC、CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求幾何體BCDB₁C₁A₁的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）首先，根據(jù)AA₁⊥平面ABC，得到BD⊥A₁A，然后，得到AE⊥BD，然后，借助于∴△A₁AD≌△ECD，得到A₁D⊥AE，從而得到命題成立；
（II）利用V_{三棱柱ABC-A1B1C1}-V_{三棱錐B-A1AD}，即可求幾何體BCDB₁C₁A₁的體積．

解答： 解：（I）證明：∵BA=BC，D為AC中點，
∴BD⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，BD在平面ABC內(nèi)，
∴BD⊥A₁A，又AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又AE?平面ACC₁A₁，
∴AE⊥BD．
在正方形ACC₁A₁中，
∵D、E分別是AC、CC₁的中點，
∴△A₁AD≌△ECD．
∴A₁D⊥AE，
又AE⊥BD，
∴AE⊥平面A₁BD．
（II）根據(jù)（I），
設(shè)幾何體BCDB₁C₁A₁的體積為V，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V₁，
三棱錐B-A₁AD的體積為V₂
則 V=V₁-V₂
=

4 3

4

×2-

1

3

×

1

2

×1×2×

3

=2

3

-

3

3

=

5 3

3

，
∴幾何體BCDB₁C₁A₁的體積為

5 3

3

．

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．