Question

設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

8

=1，過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為θ和π-θ（0＜θ＜

π

2

）的兩直線分別交橢圓于A，C和B，D兩點(diǎn)．
（1）用θ表示四邊形ABCD的面積S；
（2）當(dāng)θ∈（0，

π

2

）時(shí)，求S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)出直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為θ的直線的方程和橢圓方程聯(lián)立即可表示出四邊形ABCD的面積；
（2）根據(jù)（1）求得的面積S的函數(shù)求其最大值即可．

解答： 解：設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為θ的直線方程為y=xtanθ，代入

x2

4

+

y2

8

=1，
求得x2=

32

8+4tan2θ

，y2=

32tan2θ

8+4tan2θ

，
由對(duì)稱性可知四邊形ABCD為矩形，又由于0＜θ＜

π

2

，
所以四邊形ABCD的面積S=4|x||y|=

32tanθ

2+tan2θ

；
（2）當(dāng)0＜θ＜

π

2

時(shí)，tanθ＞0，
設(shè)t=tanθ，則S=

32t

2+t2

=

32

2 t +t

，（t＞0），
設(shè)f（t）=

2

t

+t，
f′（t）=1-

2

t2

，
當(dāng)0＜t＜

2

時(shí)，f′（t）＜0；
當(dāng)t＞

2

時(shí)，f′（t）＞0，
因?yàn)閒（t）在t=

2

時(shí)，取最小值，
所以f（t）_min=f（

2

）=

2

2

+

2

=2

2

，
所以當(dāng)tanθ=

2

時(shí)，S_max=8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和橢圓的相關(guān)知識(shí)，三角函數(shù)的最值問(wèn)題．