已知圓心在直線y=2x上的圓C經(jīng)過點(diǎn)M(-1,1),且該圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為2.
(1)求圓C的方程;
(2)是否存在過圓心C的兩條互相垂直的直線,使得點(diǎn)M到這兩條直線的距離之積為
3
2
,若存在,請(qǐng)求出滿足條件的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)∵圓心在直線y=2x上,
∴設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-2a)2=r2,…①
又∵圓C經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),
∴(-1-a)2+(1-2a)2=r2,…②
又∵圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為2,
∴1+(2a)2=r2,…③
由①②③解得a=1,r2=5,
則圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=5;                 
(2)由(1)知圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=5,圓心C(1,2),
假設(shè)存在互相垂直的兩條直線滿足條件,
當(dāng)一條直線的斜率不存在,另一條直線斜率為0時(shí),
點(diǎn)(-1,1)到兩條垂直直線的距離之積為2≠
3
2
,不符合題意;
當(dāng)它們的斜率均存在時(shí),
分別設(shè)為y-2=k(x-1),y-2=-
1
k
(x-1),即kx-y+2-k=0,x+ky-2k-1=0,
|-2k+1|
1+k2
|-k-2|
1+k2
=
3
2
,即
|2k2+3k-2|
1+k2
=
3
2
,
當(dāng)
2k2+3k-2
1+k2
=
3
2
時(shí),即k2+6k-7=0,解得:k=1或k=-7;
當(dāng)
2k2+3k-2
1+k2
=-
3
2
時(shí),即7k2+6k-1=0,解得:k=-1或k=
1
7
,
則存在互相垂直的兩條直線方程分別為x-y+1=0,x+y-3=0或x-7y+13=0,7x+y-9=0.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓心在直線y=2x上的圓C經(jīng)過點(diǎn)M(-1,1),且該圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為2.
(1)求圓C的方程;
(2)是否存在過圓心C的兩條互相垂直的直線,使得點(diǎn)M到這兩條直線的距離之積為
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,若存在,請(qǐng)求出滿足條件的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求圓C的方程;
(2)是否存在直線l:x-y-m=0與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)恰在拋物線x2=4y上,若l存在,請(qǐng)求出m的值,若l不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為數(shù)學(xué)公式的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓數(shù)學(xué)公式與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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