在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)出圓心的坐標(biāo),把原點(diǎn)代入圓方程求得t,則圓心坐標(biāo)可得,進(jìn)而求得圓的方程.
(2)設(shè)P(m,n),根據(jù)題意求得F的坐標(biāo),把點(diǎn)P和F代入圓的方程,聯(lián)立求得m和n.
解答:解:(1)由已知可設(shè)圓心坐標(biāo)為(t,t+4),
t2+(t+4)2=8得t=-2,所以圓心坐標(biāo)為(-2,2),
所以圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8;
(2)設(shè)P(m,n),由已知橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10,得a=5
∴c2=25-9,c=4,故F(4,0),
則(m-4)2+(n-0)2=16,(m+2)2+(n-2)2=8
解之得:
m=0
n=0
m=
4
5
n=
12
5

∴P(0,0)或P(
4
5
,
12
5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓的方程的綜合應(yīng)用.考查了考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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