Question

某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，由于受技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，其次品率Q與日產(chǎn)量x（萬件）之間大體滿足關(guān)系：Q=

1 2(12-x) ，1≤x≤a 1 2 ，a＜x≤11

，（其中a為常數(shù)，且1＜a＜11）．
（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）．已知每生產(chǎn)1萬件合格的產(chǎn)品可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元．
（Ⅰ）試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額P（x）（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）每天的贏利為P（x）=日產(chǎn)量（x）×正品率（1-Q）×2-日產(chǎn)量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到；
（Ⅱ）當(dāng)x≤a＜11時(shí)，設(shè)12-x=t，利用基本不等式可得x=9時(shí)，等號(hào)成立，故可分類討論得：當(dāng)1＜a＜9時(shí)，當(dāng)x=a時(shí)，最大利潤為

45a-4a2

2(12-a)

萬元當(dāng)9≤a＜11時(shí)，x=9時(shí)，最大利潤為

27

2

萬元．

解答： 解：（Ⅰ）每天的贏利為P（x）=日產(chǎn)量（x）×正品率（1-Q）×2-日產(chǎn)量（x）×次品率（Q）×1，
整理即可得到P（x）=

45x-4x2 2(12-x) ，1≤x≤a 1 2 x，a＜x≤11

；
（Ⅱ）當(dāng)x≤a＜11時(shí)，設(shè)12-x=t，則y=

51

2

-2（t+

9

t

）≤

27

2

當(dāng)且僅當(dāng)t=3，x=9時(shí)，等號(hào)成立．
當(dāng)1＜a＜9時(shí)，當(dāng)x=a時(shí)，最大利潤為

45a-4a2

2(12-a)

萬元
當(dāng)9≤a＜11時(shí)，x=9時(shí)，最大利潤為

27

2

萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用基本不等式求得函數(shù)的最值問題，也考查了分段函數(shù)的問題，是中檔題．