Question

已知正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，公比為q，若

q(S6-S3)

S9-S6

=

1

4

，且10是a₂，a₄的等差中項．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}滿足b_n=

n

an

，記數列{b_n}的前n項和為T_n，若對于任意的n∈N^*，恒有T_2n＞（-1）^n-1t-

2n

4n

，試求t的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等比數列的性質，列出方程解得首項及公比即得結論；
（2）利用錯位相減法求得T_2n=2-

1

22n-1

-

2n

4n

，則對于任意的n∈N^*，恒有T_2n＞（-1）^n-1t-

2n

4n

，等價于2-

1

22n-1

＞（-1）^n-1t恒成立，即只要2-

1

22n-1

的最小值大于（-1）^n-1t恒成立，進而求得結論．

解答： 解：由

q(S6-S3)

S9-S6

=

1

4

，得4q（a₄+a₅+a₆）=a₇+a₈+a₉，即4q=q³，∴q=2，
又10是a₂，a₄的等差中項．
∴a₁q+a₁q³=20，解得a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（2）b_n=

n

an

=n•

1

2n

，
∴T_n=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

，

1

2

T_n=1•

1

22

+2•

1

23

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，
兩式作差得，

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

，
∴T_2n=2-

1

22n-1

-

2n

4n

，
∵對于任意的n∈N^*，恒有T_2n＞（-1）^n-1t-

2n

4n

，即2-

1

22n-1

＞（-1）^n-1t恒成立，
又2-

1

22n-1

的最小值為

3

2

，
∴當n為奇數時，由

3

2

＞t得，t＜

3

2

，
當n為偶數時，由

3

2

＞-t得，t＞-

3

2

，
∴綜上所述，t的取值范圍是（-

3

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查等差數列、等比數列的性質及利用錯位相減法求數列和知識，考查學生的運算求解能力及恒成立問題的轉化能力，綜合性強，屬難題．