Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x3+bx2+cx，其導函數(shù)y=f′（x）的圖象（如圖所示）經(jīng)過點（1，0），（2，0）． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0恰有2個根，求m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，可得f'（x）=6x2+2bx+c=0的解為x=1，x=2， 故 解得
所以f（x）=2x3﹣9x2+12x．
（Ⅱ）f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），
當f'（x）＞0時，x＜1或x＞2；
當f'（x）＜0時，1＜x＜2．
所以函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（﹣∞，1）和（2，+∞），單調減區(qū)間為（1，2），
當x=1時，f（x）極大=5，當x=2時，f（x）極小=4．
故方程f（x）﹣m=0恰有2個根，得m=4或m=5
【解析】（Ⅰ）根據(jù)圖象可得得f'（x）=6x2+2bx+c=0的解為x=1，x=2，根據(jù)根與系數(shù)的關系，聯(lián)立方程組求解即可；（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，求出相應函數(shù)值，即可求實數(shù)m的值．
【考點精析】利用基本求導法則和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．