Question

 （本小題8分）已知圓C過(guò)點(diǎn)M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．

（1）求圓C的方程；

（2）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）圓C的方程為：x²+y²-6x+4y+4=0 ；

（2）不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線l垂直平分弦．

【解析】此題考查了利用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，垂直平分線的性質(zhì)及方程與函數(shù)的綜合．此題第二問(wèn)利用的方法是反證法，此方法的步驟為：先否定結(jié)論，然后利用正確的推理得出與已知，定理及公理矛盾，得到假設(shè)錯(cuò)誤，故原結(jié)論成立

（1）設(shè)出圓的一般式方程，表示出圓心坐標(biāo)，把圓心坐標(biāo)代入到直線x+2y+1=0中得到一個(gè)關(guān)于D，E及F的方程，然后把M與N的坐標(biāo)代入所設(shè)的圓的方程，得到兩個(gè)關(guān)于E，F(xiàn)及D的方程，三個(gè)方程聯(lián)立即可求出D，E及F的值，確定出圓C的方程；

（2）利用反證法，先假設(shè)滿足題意得點(diǎn)存在，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到圓心C必然在直線l上，由點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)求出直線PC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線AB的斜率，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的值，然后由已知直線ax-y+1=0，變形得到y(tǒng)=ax+1，代入（1）中求出的圓C的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，即可求出a的取值范圍，發(fā)現(xiàn)求出的a的值不在此范圍中，故假設(shè)錯(cuò)誤，則不存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB．

解：（1）設(shè)圓C的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0

 則有      …………………2分

解得       

∴圓C的方程為：x²+y²-6x+4y+4=0  …………4分

（2）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，

由于l垂直平分弦，故圓心必在l上．

所以l的斜率，

而，  所以．       …………5分

把直線ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圓的方程，

消去，整理得．

由于直線交圓于兩點(diǎn)，

故，

即，解得．

則實(shí)數(shù)的取值范圍是．…………………7分

由于，

故不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線l垂直平分弦．………8分